Question

6．“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*），則a₇=13；若a₂₀₁₇=m，則數(shù)列{a_n}的前2015項(xiàng)和是m-1（用m表示）．

Answer 1

分析 利用特征根法可求出“斐波那契數(shù)列”的通項(xiàng)，利用數(shù)列的規(guī)律可推導(dǎo)出其前n項(xiàng)和與第n+2項(xiàng)的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：顯然“斐波那契數(shù)列”是一個(gè)線性遞推數(shù)列．
線性遞推數(shù)列的特征方程為：x²=x+1，
解得 x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
則a_n=C₁${{x}_{1}}^{n}$+C₂${{x}_{2}}^{n}$，
∵a₁=1，a₂=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}{C}_{1}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}{C}_{2}}\\{1=（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}{C}_{1}+（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2}{C}_{2}}\end{array}\right.$，
∴C₁=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，C₂=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴a_n=$\frac{\sqrt{5}}{5}$[$（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}$-$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$]，
∴a₇=$\frac{\sqrt{5}}{5}$[$（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{7}$-$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{7}$=13，
∵a_n+2=a_n+a_n+1
=a_n+a_n-1+a_n
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-1
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+a_n-2
=…
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+…+a₂+a₁+1，
∴S₂₀₁₅=a₂₀₁₇-1=m-1．
故答案為：13，m-1．

點(diǎn)評 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，求前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．