Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x-x-2（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點A（0，-1）處的切線方程；
（2）若k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時，（x-k+1）f′（x）+x+1＞0恒成立，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=0時的導(dǎo)數(shù)，然后由直線方程的點斜式求得切線方程；
（2）把當(dāng)x＞0時，（x-k+1）f′（x）+x+1＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為$k＜\frac{x+1}{{e}^{x}-1}+x+1$，構(gòu)造函數(shù)$g（x）=\frac{x+1}{{e}^{x}-1}+x+1$，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g（x）的最小值的范圍得答案．

解答 解：（1）f（x）=e^x-x-2，f′（x）=e^x-1，
∴f′（0）=0，則曲線f（x）在點A（0，-1）處的切線方程為y=-1；
（2）當(dāng)x＞0時，e^x-1＞0，∴不等式，（x-k+1）f′（x）+x+1＞0可以變形如下：
（x-k+1）（e^x-1）+x+1＞0，即$k＜\frac{x+1}{{e}^{x}-1}+x+1$ ①
令$g（x）=\frac{x+1}{{e}^{x}-1}+x+1$，則${g}^{′}（x）=\frac{-x{e}^{x}-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}+1=\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
函數(shù)h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點．
設(shè)此零點為a，則a∈（1，2）．
當(dāng)x∈（0，a）時，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（a，+∞）時，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（a）．由g′（a）=0，可得e^a=a+2，
∴g（a）=a+2∈（3，4），由于①式等價于k＜g（a）．
故整數(shù)k的最大值為3．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點處的切線方程，考查了函數(shù)恒成立問題，著重考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了函數(shù)最值的求法，屬中高檔題．