Question

16．設(shè)A₁，A₂分別為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使得${k_{PA_1}}•{k_{P{A_2}}}$＞-$\frac{1}{2}$，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}}$）
• C． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 根據(jù)題意設(shè)P（asinα，bcosα），所以根據(jù)條件${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}＞-\frac{1}{2}$可得到$\frac{^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{1}{2}$，b²換上a²-c²從而可得到$0＜1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{1}{2}$，再根據(jù)a，c＞0，即可解出離心率$\frac{c}{a}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（asinα，bcosα），A₁（-a，0），A₂（a，0）；
∴${k}_{P{A}_{1}}=\frac{bcosα}{asinα+a}$，${k}_{P{A}_{2}}=\frac{bcosα}{asinα-a}$；
∴$\frac{^{2}co{s}^{2}α}{{a}^{2}si{n}^{2}α-{a}^{2}}＞-\frac{1}{2}$；
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{1}{2}$；
∴$0＜\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=1-（\frac{c}{a}）^{2}＜\frac{1}{2}$，a，c＞0；
∴解得$\frac{\sqrt{2}}{2}＜\frac{c}{a}＜1$；
∴該橢圓的離心率的范圍是（$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的頂點(diǎn)的定義，頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的斜率，以及b²=a²-c²，橢圓斜率的概念及計(jì)算公式，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)是求解本題的關(guān)鍵．