Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{alnx+b}{x}$（其中a≤2且a≠0），函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)點(diǎn)（3，0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=a+2-x-$\frac{2}{x}$的圖象在（0，2]有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，對(duì)a分類討論、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）等價(jià)方程$\frac{alnx+2a}{x}=a+2-x-\frac{2}{x}$在（0，2]只有一個(gè)根，即x²-（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一個(gè)根，令h（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，等價(jià)函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)．由$h'（x）=\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$，對(duì)a分類討論、結(jié)合圖象即可得出．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{alnx+b}{x}$，
∴f（1）=b，${f}^{′}（x）=\frac{a-b-alnx}{{x}^{2}}{|}_{x=1}$=a-b，
∴y-b=（a-b）（x-1），
∵切線過(guò)點(diǎn)（3，0），
∴b=2a，
∴$f'（x）=\frac{a-b-alnx}{x^2}=-\frac{a（lnx+1）}{x^2}$，
①當(dāng)a∈（0，2]時(shí)，$x∈（0，\frac{1}{e}）$單調(diào)遞增，$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$單調(diào)遞減，
②當(dāng)a∈（-∞，0）時(shí)，$x∈（0，\frac{1}{e}）$單調(diào)遞減，$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$單調(diào)遞增．
（2）等價(jià)方程$\frac{alnx+2a}{x}=a+2-x-\frac{2}{x}$在（0，2]只有一個(gè)根，
即x²-（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一個(gè)根，
令h（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，等價(jià)函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)，
∴$h'（x）=\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$
①當(dāng)a＜0時(shí)，h（x）在x∈（0，1）遞減，x∈（1，2]的遞增，
當(dāng)x→0時(shí)，h（x）→+∞，要函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)，
∴h（1）=0或h（2）＜0，
∴a=-1或$a＜-\frac{2}{ln2}$．
②當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，h（x）在$x∈（0，\frac{a}{2}）$遞增，$x∈（\frac{a}{2}，1）$的遞減，x∈（1，2]遞增，
∵$h（\frac{a}{2}）＞h（1）=a+1＞0$，當(dāng)x→0時(shí)，h（x）→-∞，
∵h(yuǎn)（e^-4）=e^-8-e^-4-2＜0，
∴h（x）在$x∈（0，\frac{a}{2}）$與x軸只有唯一的交點(diǎn)，
③當(dāng)a=2，h（x）在x∈（0，2]的遞增，
∵h(yuǎn)（e^-4）=e^-8-e^-4-2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，
∴h（x）在x∈（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)，
故a的取值范圍是a=-1或$a＜-\frac{2}{ln2}$或0＜a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．