Question

已知平面向量

a

=（sin

π

3

x，

3

），

b

=（1，cos

π

3

x），定義函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)分別為和3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△MON的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）依題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得函數(shù)f（x）=2sin（

π

3

x+

π

3

），由此可得f（x）的值域．
（Ⅱ）由f（x）=2sin（

π

3

x+

π

3

），求得f（1）和f（3），求得M、N的坐標(biāo)，可得|OM|、|ON|、|MN|的值，根據(jù)余弦定理得cos∠MON=0，可得∠MON=

π

2

，由此求得
△MON的面積為 S=

1

2

•OM•ON 的值．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得函數(shù)f（x）=

a

•

b

=sin

π

3

x+

3

cos

π

3

x=2sin（

π

3

x+

π

3

），
∴f（x）的值域?yàn)閇-2，2]．
 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（

π

3

x+

π

3

），∴f（1）=

3

，f（3）=-

3

，
從而M （1，

3

）、N（3，-

3

），∴|OM|=2，|ON|=2

3

，|MN|=

(3-1)2+(- 3 - 3 )2

=4，
根據(jù)余弦定理得cos∠MON=

OM2+ON2-MN2

2OM•ON

=

4+12-16

2×2×2 3

=0，∴∠MON=

π

2

．
△MON的面積為 S=

1

2

•OM•ON=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的值域，余弦定理，屬于中檔題．