Question

設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)記為f″（x），若在區(qū)間（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“上凸函數(shù)”，已知f（x）=

1

12

x⁴-

1

6

mx³-

3

2

x²，若當實數(shù)m滿足|m|≤2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“上凸函數(shù)”，則區(qū)間（a，b）可以是（　　）

• A、（-1，3）
• B、（0，1）
• C、（-3，3）
• D、（-3，1）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,導數(shù)的運算

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：利用函數(shù)總為“凸函數(shù)”，即f″（x）＜0恒成立，轉化為不等式恒成立問題，討論解不等式即可

解答： 解：根據(jù)題意得，f′(x)=

1

3

x3-

1

2

mx2-3x，
∴f″（x）=x²-mx-3，
∵f″（x）＜0恒成立
∴x²-mx-3＜0，
∴mx＞x²-3恒成立．
當x=0時，f″（x）=-3＜0顯然成立．
當x＞0，x-

3

x

＜m
∵m的最小值是-2，
∴x-

3

x

＜-2，從而解得0＜x＜1；
當x＜0，x-

3

x

＞m
∵m的最大值是2，
∴x-

3

x

＞2，從而解得-1＜x＜0．
故選B．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉化能力．