Question

2．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側面ADD₁A₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=$\sqrt{2}$，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2
（1）在平面ABCD內找一點F，使得D₁F⊥平面AB₁C；
（2）求二面角C-B₁A-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當F為AC中點時，D₁F⊥平面AB₁C；
（2）求出面B₁AC的一個法向量和面B₁AB的法向量，利用向量法能求出二面角C-B₁A-B的平面角的余弦值．

解答 解：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，如圖，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D₁（0，1，1），B₁（1，-1，1），
設F（a，b，0），則$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（a，b-1，-1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，-1，1），
∵D₁F⊥平面AB₁C，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}F}•\overrightarrow{AC}=a+b-1=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}F}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=a-b=0}\end{array}\right.$，得a=b=$\frac{1}{2}$，
∴F（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），即F為AC的中點，
∴當F為AC中點時，D₁F⊥平面AB₁C；
（2）由（1）得面B₁AC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，-1$），
設平面B₁AB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=x-y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{3}{2}}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由圖形得二面角C-B₁A-B的平面角為銳角，
∴二面角C-B₁A-B的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查空間直角坐標系的建立，空間向量的應用，空間線面垂直、二面角的求解與應用等，考查空間想象能力和識圖能力，是中檔題．