Question

7．設f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值為m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}+{b^2}=m$，求ab+bc的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值的意義化簡f（x），畫出f（x）的圖象，由圖象求出f（x）的最大值；
（Ⅱ）化簡等式，利用基本不等式即可求出ab+bc的最大值為．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x-1|-2|x+1=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x≤-1}\\{-3x，-1＜x＜1}\\{-x-3，x≥1}\end{array}\right.$；
畫出f（x）的圖象如圖所示，
∴函數(shù)f（x）的最大值為m=2；…（5分）
（Ⅱ）∵$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}+{b^2}=m$，
∴2m=a²+2b²+c²=（a²+b²）+（b²+c²）≥2（ab+bc），
∴ab+bc≤2，
∴ab+bc的最大值為2．…（10分）

點評 本題考查了絕對值函數(shù)的應用問題，也考查了基本不等式的應用問題，是基礎題目．