Question

17．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}-1$，g（x）=x²-2bx+4，若對(duì)任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[$\frac{17}{8}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的最值問(wèn)題，根據(jù)題意對(duì)任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}-1$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{4}-\frac{3}{4{x}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+4x-3}{4{x}^{2}}$=$-\frac{（x-1）（x-3）}{4{x}^{2}}$，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）為增函數(shù)；
若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）為減函數(shù)；
f（x）在x∈（0，2）上有極值，
f（x）在x=1處取極小值也是最小值f（x）_min=f（1）=-$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1$=-$\frac{1}{2}$；
∵g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，對(duì)稱軸x=b，x∈[1，2]，
當(dāng)b＜1時(shí)，g（x）在x=1處取最小值g（x）_min=g（1）=1-2b=4=5-2b；
當(dāng)1＜b＜2時(shí)，g（x）在x=b處取最小值g（x）_min=g（b）=4-b²；
當(dāng)b＞2時(shí)，g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，g（x）_min=g（2）=4-4b+4=8-4b；
∵對(duì)任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
當(dāng)b＜1時(shí)，-$\frac{1}{2}$≥5-2b，解得b≥$\frac{11}{4}$，故b無(wú)解；當(dāng)b＞2時(shí)，-$\frac{1}{2}$≥8-4b，解得b≥$\frac{17}{8}$，
綜上：b≥$\frac{17}{8}$，
故答案為：[$\frac{17}{8}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算較大，有一定的難度．