Question

3．已知平面四邊形ABCD中，AB=8，BC=5，CD=3，AD=5，A+C=180°．
（Ⅰ）求角A和BD；
（Ⅱ）求平面四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理解三角形ABD和BCD，求出BD，結(jié)合內(nèi)角和求角A；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C=120°利用分割法求面積．

解答 解：（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA，
即BD²=89-80cosA，①…（2分）
在△BCD中，由余弦定理得BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC，
即BD²=34-30cosC，②…（4分）
又A+C=180°，所以cosC=-cosA，③，
由①②③，解得cosA=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），所以A=$\frac{π}{3}$，…（6分）
將A=$\frac{π}{3}$，代入①，解得BD=7．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C=120°，
四邊形ABCD的面積S=S_△ABD+S_△BCD
=$\frac{1}{2}$•AB•AD•sinA+$\frac{1}{2}$•BC•CD•sinC…（10分）
=$\frac{1}{2}$×8×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×5×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{55\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理的運(yùn)用解三角形以及求三角形的面積；考查了學(xué)生的計(jì)算能力．