Question

7．已知某海濱浴場海浪的高度y（米）是時間t （0≤t≤24，單位：小時）函數(shù)，記作：y=f（t），下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：

t（時）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.41	0.88	0.39	0.91	1.38	0.90	0.42	0.89	1.40

經(jīng)長期觀察，y=f（t）的曲線，可以近似地看成函數(shù)y=Acos（ωt）+b的圖象．
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)（對浪高采用精確到0.1的數(shù)據(jù)），求出函數(shù)y=Acos（ωt）+b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達式；
（2）依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？
（參考數(shù)據(jù)cos$\frac{7π}{16}$≈0.2）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)（對浪高采用精確到0.1的數(shù)據(jù)），結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出A，ω和b的值m，即可求出函數(shù)y=Acos（ωt）+b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達式；
（2）根據(jù)（1）的解析式，解不等式f（t）＞1，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）對浪高采用精確到0.1的數(shù)據(jù)后表格如下：

t（時）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.4	0.9	0.4	0.9	1.4	0.9	0.4	0.9	1.4

∵同一周期內(nèi)，當t=12時y_max=1.4，當t=6時y_min=0.4，
∴函數(shù)的周期T=2（12-6）=12，得ω=$\frac{2π}{12}$=$\frac{π}{6}$，A=$\frac{1}{2}$（1.5-0.5）=$\frac{1}{2}$，
由t=3，y=0.9得B=0.9，
可得f（t）=$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{6}$t）+$\frac{9}{10}$．
（2）由題意，當y＞1時，才可對沖浪者開放，
則$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{6}$t）+$\frac{9}{10}$＞1，
即cos（$\frac{π}{6}$t）＞$\frac{1}{5}$．又cos$\frac{7π}{12}$≈0.2，
∴2kπ-$\frac{7π}{12}$＜$\frac{π}{6}$t＜2kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
即12k-$\frac{21}{8}$＜t＜12k+$\frac{21}{8}$，k∈Z，
∴在同一天內(nèi)取k=0、1、2得0≤t＜$\frac{21}{8}$，12-$\frac{21}{8}$＜t＜12+$\frac{21}{8}$，24-$\frac{21}{8}$＜t≤24，
∴在規(guī)定時間上午8：00時至晚上20：00時之間，
有（12+$\frac{21}{8}$）-（12-$\frac{21}{8}$）=5.25個小時的時間可供沖浪者進行運動．

點評 本題給出實際應(yīng)用問題，求函數(shù)的近似表達式并求能供沖浪運動的時間段．著重考查了三角函數(shù)的解析式求法、三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．