Question

14．已知雙曲線H：$\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{6}$=1，斜率為2的動直線l交H于A，B兩點，則線段AB的中點在一條定直線上，這條定直線的方程為（　�。�

• A． x+y=0
• B． x-y=0
• C． x+2y=0
• D． x-2y=0

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀）．利用中點坐標公式、斜率計算公式、“點差法”即可得出．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中點為M（x₀，y₀）．
則$\frac{{{x}_{1}}^{3}}{3}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{6}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{6}$=1，
相減可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{3}$=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{6}$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
又$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2，y₁+y₂=2y₀，x₁+x₂=2x₀，
則2•$\frac{2{x}_{0}}{2{y}_{0}}$=2，
即x₀=y₀，即x₀-y₀=0．
故線段AB的中點在直線x-y=0上．
故選：B

點評 本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、中點坐標公式、斜率計算公式、“點差法”，利用點差法是解決本題的關鍵．