Question

9．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點分別作垂直于x軸的直線與雙曲線有四個交點，且這四個交點恰好為正方形的四個頂點，則雙曲線的離心率為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出四個交點的坐標，利用四個交點恰好為正方形的四個頂點，得到邊長相等，求出a，c的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：雙曲線的兩個焦點（-c，0），和（c，0），
令x=-c，則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
則有y=±$\frac{^{2}}{a}$，
令x=c，則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
則有y=±$\frac{^{2}}{a}$，
設A（-c，$\frac{^{2}}{a}$），B（-c，-$\frac{^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{^{2}}{a}$），D（c，$\frac{^{2}}{a}$），
則AB=$\frac{2^{2}}{a}$，BC=2c，
∵這四個交點恰好為正方形的四個頂點，
∴AB=BC，
即$\frac{2^{2}}{a}$=2c，
則b²=ac，
即c²-a²=ac，
∴c²-ac-a²=0
∴e²-e-1=0，
得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或e=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
∵e＞1，∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出交點坐標是解決本題的關(guān)鍵．