Question

3．兩個人射擊，甲射擊一次中靶概率是$\frac{1}{2}$，乙射擊一次中靶概率是$\frac{1}{3}$，
（Ⅰ）兩人各射擊1次，兩人總共中靶至少1次就算完成目標，則完成目標概率是多少？
（Ⅱ）兩人各射擊2次，兩人總共中靶至少3次就算完成目標，則完成目標的概率是多少？
（Ⅲ）兩人各射擊5次，兩人總共中靶至少1次的概率是否超過99%？

Answer 1

分析 由條件利用相互獨立事件的概率乘法公式，n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率，求得所求事件的概率．

解答 （Ⅰ）共三種情況：乙中靶甲不中靶的概率為$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$； 甲中靶乙不中靶的概率為$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$；
甲乙全中靶的概率為$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，∴完成目標概率是$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）分兩類情況：
甲乙二人共擊中3次，即甲中2次、乙中1次，或甲中1次、乙中2次，
故它的概率為 ${C}_{2}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•[${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$]+${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•[${C}_{2}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$]=$\frac{1}{6}$；
甲乙二人共擊中4次${C}_{2}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•${C}_{2}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{36}$，
∴完成目標的概率是$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{36}$=$\frac{7}{36}$．
（III）甲乙二人全部沒有擊中的概率為${（\frac{1}{2}）}^{5}$•${（\frac{2}{3}）}^{5}$=$\frac{1}{243}$，
∴兩人總共中靶至少1次的概率是1-$\frac{1}{243}$=$\frac{242}{243}$＞99%．

點評 本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．