Question

【題目】如圖，A、B為橢圓C：短軸的上、下頂點，P為直線l：y＝2上一動點，連接PA并延長交橢圓于點M，連接PB交橢圓于點N，已知直線MA，MB的斜率之積恒為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線MN與x軸平行，求直線MN的方程；

（3）求四邊形AMBN面積的最大值，并求對應的點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）四邊形AMBN面積的最大值為，對應的點P的坐標為(，2)

【解析】

（1）根據題意有A(0，1)，B(0，﹣1)，設M(x，y)，根據直線MA，MB的斜率之積恒為，即求解.

（2）根據題意設M(m，n)，則N(﹣m，n)，，聯立求解，令求解.

（3）設P(t，2)，t≠0，與橢圓聯立得，求得 的坐標，同理求得的坐標，然后由S四邊形AMBN求解.

（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，設M(x，y)，則

，

因此，橢圓C的標準方程為：；

（2）設M(m，n)，則N(﹣m，n)，

則，

聯立解得，所以，故直線MN的方程為：；

（3）設P(t，2)，t≠0，

與橢圓聯立得解得或，，

同理或

所以S四邊形AMBN

令，則S四邊形AMBN，

，故在上遞減，

故，即，即時，，

即S四邊形AMBN的最大值為

因此，四邊形AMBN面積的最大值為，對應的點P的坐標為(，2).