Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=-

7x

x2+x+1

（1）求x＜0時，f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的值域,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）首先求出f（-x）的解析式，然后根據函數f（x）是定義在R上的偶函數，可得函數f（x）=f（-x），據此解答即可；
（2）分類求出f（x）的值域，x=0時，y=0；首先變形：x＞0時，f（x）=-

7x

x2+x+1

=-

7

x+ 1 x +1

，然后根據x+

1

x

≥2，求出x＞0時，f（x）的取值范圍是多少；最后根據f（x）是定義在R上的偶函數，求出x＜0時，f（x）的取值范圍是多少，據此解答即可．

解答： 解：（1）令x＜0，則-x＞0，
所以f（-x）=-

7(-x)

x2-x+1

=

7x

x2-x+1

因為y=f（x）是定義在R上的偶函數，
所以f（-x）=f（x），
所以x＜0時，f（x）=

7x

x2-x+1

（2）①x=0時，y=0
②x＞0時，f（x）=-

7x

x2+x+1

=-

7

x+ 1 x +1

因為x+

1

x

≥2，所以x+

1

x

+1≥3
所以0＜

7

x+ 1 x +1

≤

7

3

，-

7

3

≤-

7

x+ 1 x +1

＜0
即x＞0時，-

7

3

≤y＜0
③因為y=f（x）是定義在R上的偶函數，
所以x＜0時，-

7

3

≤y＜0
綜上，f（x）的值域是[-

7

3

，0]．

點評：本題主要考查了函數的解析式的求法，以及函數的值域的求法．