Question

18．如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ADE-BCF和一個正死棱錐P-ABCD組合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（1）證明：平面PAD⊥平面ABFE；
（2）當正四棱錐P-ABCD的高為1時，求二面角C-AF-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明：AD⊥平面ABFE，即可證明平面PAD⊥平面ABFE；
（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法求二面角C-AF-P的余弦值．

解答 （1）證明：直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE，
所以AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以AD⊥平面ABFE，AD?平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABFE．
（2）解：由（1）AD⊥平面ABFE，以A為原點，
AB，AE，AD方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，

因為正四棱錐P-ABCD的高為1，AE=AD=2，
則A（0，0，0），F(xiàn)（2，2，0），C（2，0，2），P（1，-1，1），
所以$\overrightarrow{AF}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{AC}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{AP}=（1，-1，1）$．
設(shè)平面ACF的一個法向量$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=2{x_1}+2{y_1}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=2{x_1}+2{z_1}=0\end{array}\right.$，
取x₁=1，則y₁=z₁=-1，
所以$\overrightarrow m=（1，-1，-1）$．
設(shè)平面AFP的一個法向量$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AF}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2{x_2}+2{y_2}=0\\{x_2}-{y_2}+{z_2}=0\end{array}\right.$，
取x₂=1，則y₂=-1，z₂=-2，
所以$\overrightarrow n=（1，-1，-2）$，
所以$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=\frac{1+1+2}{{\sqrt{3}\sqrt{6}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，即二面角C-AF-P的余弦值是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題主要考查空間面面垂直的判斷以及空間二面角的求解，建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決二面角常用的方法．