Question

16．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，拋物線C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點(diǎn)．
（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，求p，m的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；
（2）若拋物線C₂的焦點(diǎn)在直線AB上，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意知當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，直線AB的方程為：x=1，即m=0，從而A（1，$\frac{3}{2}$）或（1，-$\frac{3}{2}$）．因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上．所以$\frac{9}{4}$=2p，可得此時(shí)C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷該焦點(diǎn)是否在直線AB上；
（2）由（1）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可推導(dǎo)出求出符合條件的k的值，即可得到所求直線方程．

解答 解：（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以m=0，直線AB的方程為：x=1，
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{2}$）或（1，-$\frac{3}{2}$）．
因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上．
所以$\frac{9}{4}$=2p，即p=$\frac{9}{8}$．
即有拋物線的方程為y²=$\frac{9}{4}$x，
此時(shí)C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{9}{16}$，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上；
（2）由（1）知直線AB的斜率存在，
故可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0①
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程①的兩根，x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{（y-m）^{2}=2px}\end{array}\right.$，
消去y得（kx-k-m）²=2px．②
因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)F'（$\frac{p}{2}$，m）在直線y=k（x-1）上，
所以m=k（$\frac{p}{2}$-1），即m+k=$\frac{kp}{2}$．代入②有（kx-$\frac{kp}{2}$）²=2px．
即k²x²-p（k²+2）x+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0．③
由于x₁，x₂也是方程③的兩根，
所以x₁+x₂=$\frac{p（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，
從而$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{p（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，
解得p=$\frac{8{k}^{4}}{（3+4{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}$ ④
又AB過C₁，C₂的焦點(diǎn)，
所以|AB|=（x₁+$\frac{p}{2}$）+（x₂+$\frac{p}{2}$）=x₁+x₂+p=2-$\frac{1}{2}$x₁+2-$\frac{1}{2}$x₂，
則p=4-$\frac{3}{2}$（x₁+x₂）=4-$\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12+4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．⑤
由④、⑤式得$\frac{8{k}^{4}}{（3+4{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}$=$\frac{12+4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，即k⁴-5k²-6=0．
解得k²=6．于是k=±$\sqrt{6}$．
則直線方程為y=±$\sqrt{6}$（x-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓錐軸線的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．