Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求不等式f（log₂x）+2≥0的解集；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）當(dāng)a＞0，設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-|x|-1，從而可得|log₂x|≤1，從而解得；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax²-|x|+2a-1是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是減函數(shù)，從而解得．
（3）當(dāng)a＞0，x∈[1，2]時(shí)，化簡f（x）=ax²-x+2a-1=a（x-$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$+2a-1，從而討論以確定函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-|x|-1，
故-|log₂x|-1+2≥0，
故|log₂x|≤1，
故$\frac{1}{2}$≤x≤2，
故不等式f（log₂x）+2≥0的解集為[$\frac{1}{2}$，2]；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，
f（x）=ax²-|x|+2a-1是偶函數(shù)，在[0，+∞）上是減函數(shù)，
故f_max（x）=f（0）=2a-1；
（3）當(dāng)a＞0，x∈[1，2]時(shí)，
f（x）=ax²-x+2a-1=a（x-$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$+2a-1，
①當(dāng)$\frac{1}{2a}$≤1，即a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，
f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，
故g（a）=f_min（x）=f（1）=3a-2，
②當(dāng)1＜$\frac{1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
g（a）=f_min（x）=f（$\frac{1}{2a}$）=-$\frac{1}{4a}$+2a-1，
③當(dāng)$\frac{1}{2a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，
f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
故g（a）=f_min（x）=f（2）=6a-3．
故g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-3，0＜a≤\frac{1}{4}}\\{-\frac{1}{4a}+2a-1，\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}}\\{3a-2，a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)不等式的解法及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了絕對值函數(shù)的應(yīng)用．