Question

18．已知橢圓Г₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線Г₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1共焦點(diǎn)，且雙曲線Г₁的離心率為$\sqrt{2}$，直線l：y=kx過點(diǎn)（a，$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$），且分別與雙曲線、橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若OA=AB，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．．

Answer 1

分析 由題意可知，雙曲線為等軸雙曲線，求得m²=1，得到雙曲線的半焦距，即可得到橢圓的半焦距，再由直線l過點(diǎn)（a，c），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，直線方程和雙曲線方程，分別求出A，B的橫坐標(biāo)，由OA=AB，得x_A=2x_B，由此列式求得橢圓的離心率．

解答 解：∵雙曲線Г₂的離心率為$\sqrt{2}$，∴雙曲線Г₂為等軸雙曲線，
則m²=1，∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{2}，0$），
則橢圓的c=$\sqrt{2}$，
如圖：直線l：y=kx過點(diǎn)（a，$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$），即過點(diǎn)（a，c），
∴直線方程為y=$\frac{c}{a}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{c}{a}x}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得${x}_{B}=\frac{a}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{c}{a}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，可得x_A=b．
∵OA=AB，∴x_A=2x_B，即$b=2\frac{a}$，
∴b²=2a，即a²-c²=2a，則a²-2a-2=0，
解得：a=$\sqrt{3}+1$．
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{2}（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓與雙曲線間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，是中檔題．