Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=B+30°，$\sqrt{3}$b=$\sqrt{2}$c
（1）求角B；
（2）若BC=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）確定C=150°-2B，利用$\sqrt{3}$sinB=$\sqrt{2}$sinC，代入化簡，即可求角B；
（2）若BC=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，求出c，再利用三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（1）在△ABC中，∵A=B+30°，
∴C=150°-2B，
∵$\sqrt{3}$b=$\sqrt{2}$c，
∴$\sqrt{3}$sinB=$\sqrt{2}$sinC，
∴$\sqrt{3}$sinB=$\sqrt{2}$sin（150°-2B），
∴$\sqrt{3}$sinB=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2B+$\sqrt{2}•\frac{1}{2}$sin2B，
∴B=45°；
（2）∵a=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∴b²=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²+c²-2（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）c×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\sqrt{3}$b=$\sqrt{2}$c，
∴代入化簡可得c²-（6$\sqrt{3}$+6）c+24+12$\sqrt{3}$=0，
∴$c=2\sqrt{3}$或6+4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=3+$\sqrt{3}$或9+5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦、余弦定理的運用，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．