Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K={（x，y）|（|x|+|3y|-6）（|3x|+|y|-6）≤0}所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為24．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)區(qū)域的對(duì)稱性求出在第一象限的面積即可．

解答 解：∵（|x|+|3y|-6）（|3x|+|y|-6）≤0對(duì)應(yīng)的區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，x軸對(duì)稱，y軸對(duì)稱，
∴只要作出在第一象限的區(qū)域即可．
當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，
不等式等價(jià)為|（x+3y-6）（3x+y-6）≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-6≥0}\\{3x+y-6≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-6≤0}\\{3x+y-6≥0}\end{array}\right.$，
在第一象限內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖象為，
則A（2，0），B（6，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-6=0}\\{3x+y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
則三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}$=3，則在第一象限的面積S=2×3=6，
則點(diǎn)集K對(duì)應(yīng)的區(qū)域總面積S=4×6=24．
故答案為：24．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查區(qū)域面積的計(jì)算，根據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．