Question

13．已知函數(shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x+1），則滿足不等式f（log₃（x+2））+f（2）＞0的x的取值范圍是（-2，-$\frac{17}{9}$）．

Answer 1

分析 運(yùn)用奇函數(shù)的定義和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到f（x）在R上遞減，f（log₃（x+2））+f（2）＞0可化為
log₃（x+2）＜-2，運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得0＜x+2＜$\frac{1}{9}$，解得即可得到x的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，
即有f（-x）=-f（x），
且f（0）=0，
當(dāng)x＞0時，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x+1），
由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在x＞0上遞減，
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在x＜0上遞減，
則f（x）在R上遞減，
f（log₃（x+2））+f（2）＞0即為
f（log₃（x+2））＞-f（2），
即有f（log₃（x+2））＞f（-2），
由f（x）在R上遞減，可得log₃（x+2）＜-2，
即有0＜x+2＜$\frac{1}{9}$，
解得-2＜x＜-$\frac{17}{9}$．
故答案為：（-2，-$\frac{17}{9}$）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，注意運(yùn)用定義和性質(zhì)，主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．