Question

3．數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=2^1-2n，求通項公式{a_n}．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作商法即可得到結(jié)論．

解答 解：∵a_na_n+1=2^1-2n，
∴當n≥2時，a_n-1a_n=2^1-2（n-1），
兩式作商得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{1-2n}}{{2}^{1-2（n-1）}}$=2^-2=$\frac{1}{4}$，
則當n是奇數(shù)和偶數(shù)時，數(shù)列{a_n}分別是公比數(shù)列，
∵a₁=1，a_na_n+1=2^1-2n，
∴a₂=2^1-2=$\frac{1}{2}$，
則當n是奇數(shù)時，a_n=1•（$\frac{1}{4}$）^n-1，
當n是奇偶數(shù)時，a_n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{4}$）^n-1，
故數(shù)列的通項公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{4}）^{n-1}，}&{n是奇數(shù)}\\{\frac{1}{2}•（\frac{1}{4}）^{n-1}，}&{n是偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，利用數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．