Question

14．如圖，已知ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，EA⊥平面ABCD，F(xiàn)C∥EA，設(shè)EA=1
（Ⅰ）證明：EF⊥BD；
（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC，由BD⊥AC，EA⊥BD，能證明BD⊥EF．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C到平面BDE的距離為h，由V_E-BDC=V_C-BDE，能求出點(diǎn)C到平面BDE的距離．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴EA⊥BD，
∵EA∩AC=A，∴BD⊥平面ACFE，
又EF?平面ACFE，∴BD⊥EF．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C到平面BDE的距離為h，
在△BDE中，BE=DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
S_△DBC=$\frac{1}{2}×2×2$=2，S_△BDE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5-3}$=$\sqrt{6}$，
V_E-BDC=V_C-BDE，
∴$\frac{1}{3}{S}_{△BDC}×AE$=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•h$，
∴h=$\frac{{S}_{△BDC}×AE}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{2×1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴點(diǎn)C到平面BDE的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．