Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$且$\overrightarrow c⊥\overrightarrow b$
（1）求向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角；
（2）求$|{3\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，由條件求得|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=${\overrightarrow}^{2}$，即2|$\overrightarrow$|cosθ=|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow$|，求得cosθ的值，可得θ 的值．
（2）先求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，再根據(jù)$|{3\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{{（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{9\overrightarrow{a}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$，計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，由向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$且$\overrightarrow c⊥\overrightarrow b$，
可得|$\overrightarrow$|=1，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=0，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=${\overrightarrow}^{2}$，即2|$\overrightarrow$|cosθ=|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow$|，
求得cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可得，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2×1×cos$\frac{π}{3}$=1，$|{3\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{{（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{9\overrightarrow{a}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{36+6+1}$=$\sqrt{43}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求向量的模，屬于基礎(chǔ)題．