Question

2．已知數(shù)列{a_n}中．a(chǎn)₁=2，a₂=3，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+2+S_n=2S_n+1+1（n∈N^*）；數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b_n+1=4b_n+6（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=b_n+2+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$（λ為非零整數(shù)，n∈N^*），試確定λ的值，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式變形，可得數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，由此求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；再由b₁=a₁，b_n+1=4b_n+6，構(gòu)造等比數(shù)列{b_n+2}，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=b_n+2+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$，整理后由c_n+1-c_n＞0可得（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．然后分n為偶數(shù)和奇數(shù)求得非零整數(shù)λ的值．

解答 解：（1）由已知，S_n+2+S_n=2S_n+1+1，得（S_n+2-S_n+1）-（S_n+1-S_n）=1，
即a_n+2-a_n+1=1，且a₂-a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n+1． 
由b₁=a₁=2，b_n+1=4b_n+6，得b_n+1+2=4（b_n+2），
∴數(shù)列{b_n+2}構(gòu)成以4為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，
則$_{n}+2={4}^{n}$，$_{n}={4}^{n}-2$；
（2）∵a_n=n+1，$_{n}={4}^{n}-2$，
∴c_n=b_n+2+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹，
要使c_n+1＞c_n恒成立，則c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．
（�。┊�(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，2^n-1有最小值為1，∴λ＜1．
（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞-2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，-2^n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
即-2＜λ＜1，又λ為非零整數(shù)，則λ=-1．
綜上所述，存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系和等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了函數(shù)恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中高檔題．