Question

14．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，且a₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求證：{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列．并求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由已知得a₁+a₃=2（a₂+5），2a₁=a₂-3，2（a₁+a₂）=a₃-7，由此能求出a₁，a₂的值．
（2）由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，得2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，（n≥2），兩式相減整理得{a_n+2ⁿ}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．由此能求出a_n=3ⁿ-2ⁿ．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，且a₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列，
∴a₁+a₃=2（a₂+5），①，
當n=1時，2a₁=a₂-3，②
當n=2時，2（a₁+a₂）=a₃-7，③
∴聯(lián)立①②③解得，a₁=1，a₂=5，a₃=19．
（2）證明：由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，①得2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，（n≥2），②，
兩式相減得2a_n=a_n+1-a_n-2n（n≥2），
$\frac{{a}_{n+1}+{2}^{n+1}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$=$\frac{3{a}_{n}+{2}^{n}+{2}^{n+1}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$=3（n≥2）．
∵$\frac{{a}_{2}+{2}^{2}}{{a}_{1}+2}$=3，∴{a_n+2ⁿ}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．
∴a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），又a₁=1，a₁+2¹=3，
∴a_n+2ⁿ=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列中前兩項的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．