Question

7．設(shè)m為不小于2的正整數(shù)，對(duì)任意n∈Z，若n=qm+r（其中q，r∈Z，且0≤r＜m），則記f_m（n）=r，如f₂（3）=1，f₃（8）=2，下列關(guān)于該映射f_m：Z→Z的命題中，不正確的是（　�。�

• A． 若a，b∈Z，則f_m（a+b）=f_m（a）+f_m（b）
• B． 若a，b，k∈Z，且f_m（a）=f_m（b），則f_m（ka）=f_m（kb）
• C． 若a，b，c，d∈Z，且f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d），則f_m（a+c）=f_m（b+d）
• D． 若a，b，c，d∈Z，且f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d），則f_m（ac）=f_m（bd）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，f_m（n）=r表示的意義是n被m整除所得的余數(shù)r；由此通過舉反例的方法判斷A錯(cuò)誤，通過推理說明B、C、D選項(xiàng)正確．

解答 解：根據(jù)題意，f_m（n）=r表示的意義是n被m整除所得的余數(shù)r；
∴對(duì)于A，當(dāng)m=3，a=4，b=5時(shí)，f₃（4+5）=0，
f₃（4）=1，f₃（5）=2，f₃（4+5）≠f₃（4）+f₃（5）；∴A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)f_m（a）=_m（b）時(shí)，即a=q₁m+r，b=q₂m+r，∴ka=kq₁m+kr，kb=kq₂m+kr，
即f_m（ka）=f_m（kb）；∴B正確；
對(duì)于C，當(dāng)f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d）時(shí)，即a=q₁m+r₁，b=q₂m+r₁，
c=p₁m+r₂，d=p₂m+r₂，
∴a+c=（q₁+p₁）m+（r₁+r₂），b+d=（q₂+p₂）m+（r₁+r₂），
即f_m（a+c）=f_m（b+d）；∴C正確；
對(duì)于D，當(dāng)f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d）時(shí)，
即a=q₁m+r₁，b=q₂m+r₁，c=p₁m+r₂，d=p₂m+r₂，
∴ac=q₁p₁m²+（r₂q₁+r₁p₁）m+r₁r₂，bd=q₂p₂m²+（r₂q₂+r₁p₂）m+r₁r₂，
即f_m（ac）=f_m（bd）；∴D正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了映射的定義與應(yīng)用問題，也考查了整除和余數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．