分析 (1)對(duì)g(x)在[2,3]上的單調(diào)性進(jìn)行討論列方程組解出.
(2)令|2x-1|=t,則f(|2x-1|)+k($\frac{2}{|{2}^{x}-1|}$-3)=0有三個(gè)不同的解?t2-(2+3k)t+1+2k=0的兩根分別在(0,1)和(1,+∞)上.
解答 解:(1)∵a≠0,∴g(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,∴g(x)在[2,3]上是單調(diào)函數(shù),
∴$\left\{\begin{array}{l}{g(2)=1}\\{g(3)=4}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{g(2)=4}\\{g(3)=1}\end{array}\right.$,解得a=1,b=0,或a=-1.b=3(舍).
∴a=1,b=0.
(2)f(x)=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-2.
令|2x-1|=t,顯然t>0,∴t+$\frac{1}{t}$-2+k($\frac{2}{t}-3$)=0在(0,1)上有一解,在[1,+∞)上有一解.
即t2-(2+3k)t+1+2k=0的兩根分別在(0,1)和[1,+∞)上.令h(t)=t2-(2+3k)t+1+2k,
若h(1)=0,即1-2-3k+1+2k=0,解得k=0,則h(t)=t2-2t+1=(t-1)2,與h(t)有兩解矛盾.
∴$\left\{\begin{array}{l}{h(0)>0}\\{h(1)<0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{1+2k>0}\\{-k<0}\end{array}\right.$,解得k>0,
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,+∞).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)范圍與系數(shù)的關(guān)系,屬于中檔題.
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