Question

2．已知函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x的范圍結合三角函數(shù)的值域可得；
（Ⅱ）解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得函數(shù)f（x）單調遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{6}$，∴$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，∴$-1≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤2$，
∴當$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）的最大值為2；
當$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$即$x=-\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）的最小值為-1；
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）單調遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖形化額單調性以及最值，屬基礎題．