Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，上頂點M，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，△MF₁F₂的面積為$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C的下頂點為N，過點T（t，2）（t≠0）作直線TM，TN分別與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，若△TMN的面積是△TEF的面積的$\frac{5}{4}$倍，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，△MF₁F₂的面積為$\sqrt{3}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）S_△TMN=$\frac{1}{2}$|MN|•|t|=|t|，直線TM方程為y=$\frac{1}{t}x+1$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{1}{t}x+1}\end{array}\right.$，得${x}_{k}=\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，求出E到直線TN：3x-ty-t=0的距離，直線TN方程為：$y=\frac{3}{t}x-1$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{3}{t}x-1}\end{array}\right.$，得x_F=$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$，求出|TF|，由此根據(jù)三角形面積的比值能求出實數(shù)t的值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
上頂點M，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，△MF₁F₂的面積為$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{bc=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）∵S_△TMN=$\frac{1}{2}$|MN|•|t|=|t|，
直線TM方程為y=$\frac{1}{t}x+1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{1}{t}x+1}\end{array}\right.$，得${x}_{k}=\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，
∴E（$\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$）到直線TN：3x-ty-t=0的距離：
d=$\frac{|\frac{-24t}{{t}^{2}+4}-\frac{t（{t}^{2}-4）}{{t}^{2}+4}-t|}{\sqrt{{t}^{2}+9}}$=$\frac{2|t|（{t}^{2}+12）}{\sqrt{{t}^{2}+9（{t}^{2}+4）}}$，
直線TN方程為：$y=\frac{3}{t}x-1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{3}{t}x-1}\end{array}\right.$，得x_F=$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$，
∴|TF|=$\sqrt{1+（\frac{3}{t}）^{2}}$|t-x_F|=$\sqrt{1+（\frac{3}{t}）^{2}}$|t-$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$|=$\frac{（{t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}$，
∴S_△TEF=$\frac{1}{2}•|TF|•d$=$\frac{1}{2}•\frac{（{t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}{（{t}^{2}+12）^{2}}$•$\frac{2|t|（{t}^{2}+12）}{\sqrt{{t}^{2}+9}（{t}^{2}+4）}$=$\frac{|t|（{t}^{2}+12）^{2}}{（{t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}$，
∴$\frac{5}{4}$=$\frac{{S}_{△TMN}}{{S}_{△TEF}}$=$\frac{（{t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}{（{t}^{2}+12）^{2}}$，解得t²=4或t²=36．
∴t=±2或t=±6．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線方程、點到直線的距離公式、弦長公式的合理運用．