Question

（本題滿分12分）己知斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)面為菱形，，平面平面，是的中點．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）解決立體幾何的有關(guān)問題，空間想象能力是非常重要的，但新舊知識的遷移融合也很重要，在平面幾何的基礎上，把某些空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，有時很方便；（2）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，準確寫出相關(guān)點的坐標，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵，證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當?shù)淖鴺讼�，實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備.

試題解析：（1）取的中點，連結(jié)，， 由題意知 ，.

又因為 平面平面，所以 平面

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 . 2分

則，，，，，

. 4分

因為 ，所以 6分

（2）取的中點，連結(jié)，， 由題意知 ，.

又因為 平面平面，所以 平面

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 . 7分

則，，，，，

.

設平面的法向量為，則 即

令.所以. 9分

又平面的法向量 10分

設二面角的平面角為，則. 12分

考點：1、直線與直線垂直的判定；2、平面與平面所成角的余弦值.

考點分析： 考點1：點、線、面之間的位置關(guān)系 考點2：異面直線所成的角 考點3：線面所成的角 試題屬性

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