Question

18．若不等式ax²+3x+5＞0在區(qū)間[1，6]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為a＞-$\frac{23}{36}$．

Answer 1

分析 不等式可整理為a＞-$\frac{5}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，只需求出右式的最大值即可．利用構造函數(shù)f（x）=-$\frac{5}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，求出導函數(shù)f'（x）=$\frac{10}{{x}^{3}}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，得出函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：ax²+3x+5＞0在區(qū)間[1，6]上恒成立，
∴a＞-$\frac{5}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，
令f（x）=-$\frac{5}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，f'（x）=$\frac{10}{{x}^{3}}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在[1，6]上遞增，
∴f（x）的最大值為f（6）=-$\frac{23}{36}$，
∴a＞-$\frac{23}{36}$．
故答案為：a＞-$\frac{23}{36}$．

點評 考查了恒成立問題的轉化，利用構造函數(shù)，通過導函數(shù)得出函數(shù)的最大值解決問題．