Question

12．已知函數(shù)f_t（x）=cos²x+2tsinxcosx-sin²x
（1）若${f_1}（\frac{α}{2}）=\frac{3}{4}$，試求sin2α的值．
（2）定義在$[{-\frac{π}{4}，\frac{5π}{6}}]$上的函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{7π}{24}$對(duì)稱，且當(dāng)x≤$\frac{7π}{24}$時(shí)，g（x）的圖象與$y={f_{\sqrt{3}}}$（x）的圖象重合．記M_α={x|g（x）=α}且M_α≠∅，試求M_α中所有元素之和．

Answer 1

分析 （1）由倍角公式，降冪公式化簡(jiǎn)已知等式可得sinα+cosα=$\frac{3}{4}$，兩邊平方，由倍角公式即可得解．
（2）依題意得，${f_{\sqrt{3}}}（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）=g（x）$，由$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{7π}{24}}]$，可求g（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]，記M_α中所有的元素之和為S，由圖象及對(duì)稱性分類討論即可得解．

解答 （本題滿分為15分）
解：（1）∵由題意可得：${f_1}（\frac{α}{2}）={cos^2}\frac{α}{2}+2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}-{sin^2}\frac{α}{2}=sinα+cosα=\frac{3}{4}$，
又∵${（{sinα+cosα}）^2}=1+sin2α=\frac{9}{16}$，
∴$sin2α=-\frac{7}{16}$．（6分）
（2）依題意得，${f_{\sqrt{3}}}（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）=g（x）$，
∵$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{7π}{24}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{3π}{4}}]$，可得：g（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
記M_α中所有的元素之和為S，由圖象及對(duì)稱性得：
當(dāng)$-\sqrt{3}≤a＜\sqrt{2}$時(shí)，$S=2×\frac{7π}{24}=\frac{7π}{12}$，
當(dāng)$a=\sqrt{2}$時(shí)，$S=3×\frac{7π}{24}=\frac{7π}{8}$，
當(dāng)$\sqrt{2}＜a＜2$時(shí)，$S=4×\frac{7π}{24}=\frac{7π}{6}$，
當(dāng)a=2時(shí)，$S=2×\frac{7π}{24}=\frac{7π}{12}$．（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了倍角公式，降冪公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．