Question

設(shè)f(x)＝lnx＋ax(a∈R且a≠0)．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若a＝1，證明：x∈[1,2]時(shí)，f(x)－3<成立．

Answer 1

 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f ′(x)＝＋a，

當(dāng)a>0時(shí)，f ′(x)>0，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

當(dāng)a<0時(shí)，f ′(x)＝，

由f ′(x)>0得0<x<－；由f ′(x)<0得，x>－.

∴函數(shù)f(x)在(0，－)上是增函數(shù)；在(－，＋∞)上是減函數(shù)．

(2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝lnx＋x，

要證x∈[1,2]時(shí)，f(x)－3<成立，

只需證xlnx＋x²－3x－1<0在x∈[1,2]時(shí)恒成立．

令g(x)＝xlnx＋x²－3x－1，則g′(x)＝lnx＋2x－2，

設(shè)h(x)＝lnx＋2x－2，則h′(x)＝＋2>0，

∴h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2)，即0≤g′(x)≤ln2＋2，

∴g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，∴g(x)≤g(2)＝2ln2－3<0，∴當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，xlnx＋x²－3x－1<0恒成立，即原命題得證．