Question

18．集合A，B滿足條件A∩B≠∅，A∪B={1，2，3，4，5}，當A≠B時，我們將（A，B）和（B，A）視為兩個不同的集合對，則滿足條件的集合對（A，B）共有211個．

Answer 1

分析 A∪B={1，2，3，4，5}，可得A，B均為集合{1，2，3，4，5}的子集．由A∩B≠∅，可得A，B不為∅．對集合A（B）分類討論即可得出．

解答 解：∵A∪B={1，2，3，4，5}，
∴A，B均為集合{1，2，3，4，5}的子集．
由A∩B≠∅，可得A，B不為∅．
①當A為一元集時，不妨令A={1}，則B={1，2，3，4，5}，
此時對子（A，B）有${∁}_{5}^{1}$=5個；
②當A為二元集時，不妨令A={1，2}，則B={1，2，3，4，5}，或B={2，3，4，5}，或B={1，3，4，5}，
此時對子（A，B）有${∁}_{5}^{2}$×3=30個；
③當A為三元集時，不妨令A={1，2，3}，則B={1，2，3，4，5}，或B={1，2，4，5}，或B={1，3，4，5}，或B={2，3，4，5}，或B={1，4，5}，或B={2，4，5}，或B={3，4，5}．
此時對子（A，B）有${∁}_{5}^{3}$×7=70個；
④當A為四元集時，A={1，2，3，4}，則B={1，2，3，4，5}，或B={1，2，3，5}，或B={1，2，4，5}，或B={1，3，4，5}，或B={2，3，4，5}，或B={1，2，5}，或B={1，4，5}，或B={2，4，5}，或B={3，4，5}，或B={1，3，5}，或B={2，3，5}，或B={1，5}，或B={4，5}，或B={3，5}，或B={2，5}，或B={5}，
此時對子（A，B）有${∁}_{5}^{4}$×15=75個；
⑤當A為五元集時，A={1，2，3，4，5}，B的個數(shù)為2⁵-1=31個．
綜上滿足條件A∪B={1，2，3，4}的不同對子（A，B）有5+30+70+75+31=211個．
故答案為：211．

點評 本題考查了集合的運算性質(zhì)、組合數(shù)的計算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．