Question

18．集合A，B滿足條件A∩B≠∅，A∪B={1，2，3，4，5}，當(dāng)A≠B時(shí)，我們將（A，B）和（B，A）視為兩個(gè)不同的集合對(duì)，則滿足條件的集合對(duì)（A，B）共有211個(gè)．

Answer 1

分析 A∪B={1，2，3，4，5}，可得A，B均為集合{1，2，3，4，5}的子集．由A∩B≠∅，可得A，B不為∅．對(duì)集合A（B）分類討論即可得出．

解答 解：∵A∪B={1，2，3，4，5}，
∴A，B均為集合{1，2，3，4，5}的子集．
由A∩B≠∅，可得A，B不為∅．
①當(dāng)A為一元集時(shí)，不妨令A(yù)={1}，則B={1，2，3，4，5}，
此時(shí)對(duì)子（A，B）有${∁}_{5}^{1}$=5個(gè)；
②當(dāng)A為二元集時(shí)，不妨令A(yù)={1，2}，則B={1，2，3，4，5}，或B={2，3，4，5}，或B={1，3，4，5}，
此時(shí)對(duì)子（A，B）有${∁}_{5}^{2}$×3=30個(gè)；
③當(dāng)A為三元集時(shí)，不妨令A(yù)={1，2，3}，則B={1，2，3，4，5}，或B={1，2，4，5}，或B={1，3，4，5}，或B={2，3，4，5}，或B={1，4，5}，或B={2，4，5}，或B={3，4，5}．
此時(shí)對(duì)子（A，B）有${∁}_{5}^{3}$×7=70個(gè)；
④當(dāng)A為四元集時(shí)，A={1，2，3，4}，則B={1，2，3，4，5}，或B={1，2，3，5}，或B={1，2，4，5}，或B={1，3，4，5}，或B={2，3，4，5}，或B={1，2，5}，或B={1，4，5}，或B={2，4，5}，或B={3，4，5}，或B={1，3，5}，或B={2，3，5}，或B={1，5}，或B={4，5}，或B={3，5}，或B={2，5}，或B={5}，
此時(shí)對(duì)子（A，B）有${∁}_{5}^{4}$×15=75個(gè)；
⑤當(dāng)A為五元集時(shí)，A={1，2，3，4，5}，B的個(gè)數(shù)為2⁵-1=31個(gè)．
綜上滿足條件A∪B={1，2，3，4}的不同對(duì)子（A，B）有5+30+70+75+31=211個(gè)．
故答案為：211．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)、組合數(shù)的計(jì)算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．