Question

設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，已知拋物線C上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離等于4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)N（3，0），過點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．求|NA|•|NB|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）拋物線C上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離等于4，即有3+

p

2

=4，可得p=2，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)AB方程是x=my+1，代入拋物線方程得到：y²-4my-4=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合配方法，即可求|NA|•|NB|的最小值．

解答： 解：（1）拋物線C上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離等于4，即有3+

p

2

=4，
∴p=2，
∴拋物線方程是y²=4x；
（2）F坐標(biāo)是（1，0），則設(shè)AB方程是x=my+1．
代入拋物線方程得到：y²-4my-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴x₁x₂=1，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2
|NA|²|NB|²=[（3-x₁）²+y₁²][（3-x₂）²+y₂²]=144m⁴+72m²+68=144（m²+

1

4

）²+68-9，
故當(dāng)m²=0時有最小值是：68，
即|NA|•|NB|的最小值是2

17

．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．