Question

17．已知關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0，其中2a+3b+6c=0．
（1）當(dāng)a=0，且b≠0時，求方程的根；
（2）當(dāng)a＞0，c＜0時，求證：方程有一根在（0，1）內(nèi)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0，且b≠0時，可得c=-$\frac{2}$，方程即bx-$\frac{2}$=0，由此求得x的值．
（2）由題意可得f（0）=c＜0，故只需證f（1）=a+b+c＞0．再根據(jù)f（1）=a+b+c，它與3a+3b+3c同號．把3b=-2a-6c代入3a+3b+3c求得它等于a-3c＞0，故有f（1）=a+b+c＞0，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理，得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=0，且b≠0時，關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0，其中2a+3b+6c=0，
可得c=-$\frac{2}$，方程即bx-$\frac{2}$=0，求得x=$\frac{1}{2}$．
（2）當(dāng)a＞0，c＜0時，設(shè)f（x）=ax²+bx+c，∵f（0）=c＜0，故只需證f（1）=a+b+c＞0．
再根據(jù)f（1）=a+b+c，它與3a+3b+3c同號．
由2a+3b+6c=0，可得3b=-2a-6c，故有3a+3c-2a-6c=a-3c＞0，故有f（1）=a+b+c＞0，
可得f（0）f（1）＜0，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理，f（x）必有一個根在（0，1）內(nèi)，
即方程ax²+bx+c=0必有一根在（0，1）內(nèi)．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．