Question

13．函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{sinx+cosx}$在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值分別是 （　�。�

• A． 1，0
• B． $\frac{1}{2}$，0
• C． 0，-1
• D． 1，$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出x=0和x=$\frac{π}{2}$時(shí)的值，然后分子分母同時(shí)除以cosx，轉(zhuǎn)化為含有正切的函數(shù)，由tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上的范圍求得答案．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=$\frac{sinx}{sinx+cosx}$=0；
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{sinx}{sinx+cosx}$=1；
當(dāng)x≠0且x$≠\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{sinx}{sinx+cosx}$=$\frac{tanx}{tanx+1}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{tanx}}$．
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴tanx∈（0，+∞），
則$\frac{1}{tanx}∈$（0，+∞），1+$\frac{1}{tanx}∈$（1，+∞），
∴$\frac{1}{1+\frac{1}{tanx}}∈$（0，1）．
綜上，f（x）∈[0，1]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，注意極限思想的運(yùn)用，是中檔題．