Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{3x+q}$是奇函數(shù)，且f（2）=$\frac{5}{3}$．
（1）求實(shí)數(shù)p，q的值；
（2）判斷并證明f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)奇函數(shù)的定義確定有關(guān)參數(shù)的值；
（2）借助于導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間．
（3）判斷函數(shù)的極值和單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{p+2}{-3x+q}$=-$\frac{p+2}{3x+q}$，
即-3x+q=-3x-q，
∴q=0，
∵f（2）=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{4p+2}{3×2}$=$\frac{5}{3}$，即4p=8，
∴p=2，
∴實(shí)數(shù)p，q的值分別為2，0；
（2）f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{x}$=2x+$\frac{2}{x}$=2（x+$\frac{1}{x}$），
則f′（x）=2（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{2（{x}^{2}-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0得x＜-1或x＞1，令f′（x）＜0得-1＜x＜1，因?yàn)閤≠0，
所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）
減區(qū)間為（-1，0），（0，1）．
（3）由（2）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，且當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（1）=4，此時(shí)f（x）≥4，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，且當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極大值f（-1）=-4，此時(shí)f（x）≤-4，
綜上f（x）≥4，或f（x）≤-4，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4]∪[4，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了函數(shù)是奇函數(shù)的重要性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，屬于中檔題．