Question

已知f（t）=log₂t，t∈[

2

，8]，對于f（t）值域內的所有實數m，不等式x²+mx+4＞2m+4x恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：由t∈[

2

，8]，得f（t）∈[

1

2

，3]，x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]，問題轉化為g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒對于0，由此能求出x的取值范圍．

解答： 解：∵t∈[

2

，8]，∴f（t）∈[

1

2

，3]
原題轉化為：m（x-2）+（x-2）²＞0恒成立，為m的一次函數（這里思維的轉化很重要）
當x=2時，不等式不成立．
∴x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]
問題轉化為g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒大于0，
則：

g( 1 2 )＞0 g(3)＞0

，
解得：x＞2或x＜-1．

點評：本題考查x的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意對數性質的合理運用．