Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx．
（1）求f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）若α∈（0，π），f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sin（α+$\frac{7π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再將x=$\frac{π}{12}$代入函數(shù)即可求其函數(shù)值；
（2）將x=$\frac{α}{2}$代入函數(shù)中可求出關(guān)于α的方程，通過(guò)變形即可得所求．

解答 解：（1）由題意得，
f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故f（$\frac{π}{12}$）=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）可知，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以f（$\frac{α}{2}$）=sin（α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，
又因?yàn)棣痢剩?，π），
所以α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
所以α+$\frac{π}{3}$是第二象限角，
所以cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
所以sin（α+$\frac{7π}{12}$）=sin[（α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]
=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\frac{\sqrt{15}}{4}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{30}}{8}$；
所以sin（α+$\frac{7π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{30}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)公式的應(yīng)用，以及三角恒等變換的巧妙使用，而易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方在于通過(guò)已知條件對(duì)角所在象限角的判斷，解題時(shí)需謹(jǐn)慎．