Question

14．在△ABC中，$\overrightarrow{A{P}_{0}}$=3$\overrightarrow{{P}_{0}B}$，∠C=120°，AC=2．且對(duì)于邊AB上任意一點(diǎn)P，當(dāng)且僅當(dāng)P在P₀時(shí)，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$取得最小值，則下列結(jié)論一定正確的是（　�。�

• A． ∠BAC=45°
• B． S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． AC=BC
• D． AB=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可得 P₀、P、A、B 四點(diǎn)共線，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0），根據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)P在P₀時(shí)，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$取得最小值，即恒有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$$≥\overrightarrow{{P}_{0}B}•\overrightarrow{{P}_{0}C}$，可得x²-4（a+1）x+a+1≥0 恒成立，由判別式△≤0，解得a=0，可得點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，從而得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得 P₀、P、A、B 四點(diǎn)共線，
以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4c，C（a，b），P（x，0），
則A（-2c，0），B（2c，0），P₀（c，0），
∵因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)P在P₀時(shí)，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$取得最小值，即恒有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$$≥\overrightarrow{{P}_{0}B}•\overrightarrow{{P}_{0}C}$，
即 x²-（a+2c）x+ac+c²≥0 恒成立，∴判別式△=（a+2c）²-4（ac+c²）≤0，
解得a²≤0，∴a=0，即點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，
∴AC=BC；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量的運(yùn)算，向量的模及向量的數(shù)量積的概念，向量運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用，還考查了利用向量解決簡單的幾何問題的能力．