Question

8．非零向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow b}$|=2，＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=30°，且對(duì)?λ＞0，且|$\overrightarrow a$-λ$\overrightarrow b}$|≥|${\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$|恒成立，則$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=（　�。�

• A． 4
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由條件可對(duì)不等式$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow|≥|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$兩邊平方并整理便可得出$2{λ}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2≥0$，可設(shè)$f（λ）=2{λ}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2$，可求該二次函數(shù)的判別式和對(duì)稱軸，從而可判斷出要滿足條件，需△=0，這樣便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值．

解答 解：根據(jù)條件，對(duì)$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow|≥|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$兩邊平方得：
${\overrightarrow{a}}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{λ}^{2}≥{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4$；
∴$2{λ}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2≥0$；
設(shè)$f（λ）=2{λ}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2$，$△=（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-4）^{2}$；
又二次函數(shù)f（λ）的對(duì)稱軸為$x=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{4}=\frac{2|\overrightarrow{a}|cos30°}{4}＞0$；
則要使得f（λ）≥0恒成立，則△=0；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=4$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，不等式的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的判別式取值情況和二次函數(shù)值的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)的圖象．