Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁∈（0，2]，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2，{a}_{n}＞2}\\{3-{a}_{n}，{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$，n∈N^*，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n=2016，則n=1344．

Answer 1

分析 設(shè)a₁=a（0＜a≤2），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2，{a}_{n}＞2}\\{3-{a}_{n}，{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$，n∈N^*，可得a₂=-a₁+3=3-a∈[1，3）．對(duì)a分類討論：當(dāng)a∈[1，2]時(shí)，當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，利用遞推關(guān)系即可得出．

解答 解：設(shè)a₁=a（0＜a≤2），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2，{a}_{n}＞2}\\{3-{a}_{n}，{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$，n∈N^*，
∴a₂=-a₁+3=3-a∈[1，3）．
①當(dāng)a∈[1，2]時(shí)，3-a∈[1，2]，∴a₃=-a₂+3=a，…．
∴當(dāng)n=2k-1，k∈N^*時(shí)，a₁+a₂=a+3-a=3，∴S_2k-1=3（k-1）+a=2016，a=1時(shí)，a=2時(shí)，k不為整數(shù)舍去；
當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，a₁+a₂=a+3-a=3，∴S_2k=3k=2016，k=672是整數(shù)，n=1344．
②當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，3-a∈（2，3），∴a₃=a₂-2=1-a∈（0，1），∴a₄=-a₃+3=a+2∈（2，3），a₅=a₄-2=a∈（2，3），…．
當(dāng)n=4k，k∈N^*時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄=a+3-a+1-a+a+2=6，∴S_4k=6k=2016，k=336，∴n=1344；
當(dāng)n=4k-1，k∈N^*時(shí)，a₁+a₂+a₃=a+3-a+1-a=4-a，∴S_4k-1=6（k-1）+（4-a）=2016，舍去；
當(dāng)n=4k-2，k∈N^*時(shí)，a₁+a₂=3，∴S_4k-2=6（k-1）+3=2016，舍去．
當(dāng)4k-3，k∈N^*時(shí)，∴S_4k-2=6（k-1）+a=2015，舍去．
綜上可得：n=1344．
故答案為：1344．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．