分析 設a1=a(0<a≤2),an+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2,{a}_{n}>2}\\{3-{a}_{n},{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$,n∈N*,可得a2=-a1+3=3-a∈[1,3).對a分類討論:當a∈[1,2]時,當a∈(0,1)時,利用遞推關系即可得出.
解答 解:設a1=a(0<a≤2),an+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2,{a}_{n}>2}\\{3-{a}_{n},{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$,n∈N*,
∴a2=-a1+3=3-a∈[1,3).
①當a∈[1,2]時,3-a∈[1,2],∴a3=-a2+3=a,….
∴當n=2k-1,k∈N*時,a1+a2=a+3-a=3,∴S2k-1=3(k-1)+a=2016,a=1時,a=2時,k不為整數(shù)舍去;
當n=2k,k∈N*時,a1+a2=a+3-a=3,∴S2k=3k=2016,k=672是整數(shù),n=1344.
②當a∈(0,1)時,3-a∈(2,3),∴a3=a2-2=1-a∈(0,1),∴a4=-a3+3=a+2∈(2,3),a5=a4-2=a∈(2,3),….
當n=4k,k∈N*時,a1+a2+a3+a4=a+3-a+1-a+a+2=6,∴S4k=6k=2016,k=336,∴n=1344;
當n=4k-1,k∈N*時,a1+a2+a3=a+3-a+1-a=4-a,∴S4k-1=6(k-1)+(4-a)=2016,舍去;
當n=4k-2,k∈N*時,a1+a2=3,∴S4k-2=6(k-1)+3=2016,舍去.
當4k-3,k∈N*時,∴S4k-2=6(k-1)+a=2015,舍去.
綜上可得:n=1344.
故答案為:1344.
點評 本題考查了數(shù)列的遞推關系、分類討論思想方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-4) | B. | (4,+∞) | C. | (-∞,-4$\sqrt{2}$) | D. | (4$\sqrt{2}$,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | k≥0 | B. | k≤0 | C. | k>0 | D. | k<0 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | [$\frac{3}{4}$,+∞) | B. | [$\frac{5}{4}$,+∞) | C. | [$\frac{3}{2}$,+∞) | D. | [$\frac{5}{2}$,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 19π | B. | 30π | C. | 38π | D. | $\frac{{19\sqrt{38}}}{3}π$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | ${3^{\frac{1}{3}}}>{4^{\frac{1}{3}}}$ | B. | 0.30.4>0.30.3 | C. | log76<log67 | D. | sin3>sin2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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