Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+sinx-1，（x∈R）．
（Ⅰ）求f（

7π

6

）的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

6

，

2π

3

]時，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，整理為二次函數(shù)的頂點形式，將x=

7π

6

代入計算即可求出f（

7π

6

）的值；
（Ⅱ）由x的范圍求出sinx的范圍，進(jìn)而確定出f（x）的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos²x+sinx-1=1-sin²x+sinx-1=-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

1

4

，
∴f（

7π

6

）=-（-

1

2

-

1

2

）²+

1

4

=-

3

4

；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

2π

3

]，∴sinx∈[-

1

2

，1]，
∴sinx-

1

2

∈[-1，

1

2

]，
∴（sinx-

1

2

）²∈[0，1]，
∴-（sinx-

1

2

）²∈[-1，0]，
即-（sinx-

1

2

）²+

1

4

∈[-

3

4

，

1

4

]，
則f（x）的取值范圍為[-

3

4

，

1

4

]．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．