Question

9．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左，右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C右支上的兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，且$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，則該雙曲線的離心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠QF₂F₁=α，則|QF₁|=2csinα，|QF₂|=2ccosα，|PF₂|=4ccosα，由雙曲線的定義可得2a=2csinα-2ccosα，
在△PF₁F₂中運(yùn)用余弦定理求出sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由離心率公式計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)∠QF₂F₁=α，則|QF₁|=2csinα，|QF₂|=2ccosα，|PF₂|=4ccosα，
由雙曲線的定義可得2a=2csinα-2ccosα，
在△PF₁F₂中，（-2ccosα+2csinα+4ccosα）²=4c²+（4ccosα）²+2×2c×4ccosα×cosα
即有sinα=2cosα，即有sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinα-cosα}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，運(yùn)用雙曲線的定義和余弦定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．