Question

14．已知數(shù)列{a_n}對任意n∈N^*均滿足a_n+1²=a_n•a_n+2，a₁=2，a₄=$\frac{1}{4}$，S_n為{a_n}的前n項和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n及S_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n+a_n}是首項為-2，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得{a_n}為等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式求得公比，再由通項公式和求和公式，即可得到所求；
（2）運用等差數(shù)列的通項公式，求得b_n+a_n=-2+2（n-1）=2n-4，即有b_n=2n-4-2^2-n，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）由a_n+1²=a_n•a_n+2，可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
即有數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
由a₁=2，a₄=$\frac{1}{4}$，可得公比q³=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{8}$，
求得q=$\frac{1}{2}$，a_n=a₁q^n-1=2•2^1-n=2^2-n；
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=4-2^2-n；
（2）由數(shù)列{b_n+a_n}是首項為-2，公差為2的等差數(shù)列，
可得b_n+a_n=-2+2（n-1）=2n-4，
即有b_n=2n-4-2^2-n，
前n項和T_n=（2+4+…+2n）-4n-（2+1+…+2^2-n）
=$\frac{1}{2}$n（2+2n）-4n-4+2^2-n
=n²-3n-4+2^2-n．

點評 本題考查等比（等差）數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運算能力，屬于中檔題．