Question

15．已知函數(shù)f（x）=-asinx+b，（a，b∈R）．
（1）若a＞0，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]時，函數(shù)f（x）的最大值為0，最小值為-4，求a，b的值；
（2）當(dāng)b=1，函數(shù)g（x）=f（x）+cos²x，x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]的最大值為3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：f（x）=-asinx+b∈[-a+b，$\frac{a}{2}$+b]，從而可得：-a+b=-4，$\frac{a}{2}$+b=0，即可解得a，b的值．
（2）由b=1，可得：g（x）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2-（sinx+$\frac{a}{2}$）²，由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，可得sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，由題意最大值為3，利用g_max=3建立相關(guān)的方程，此處要用二次函數(shù)在某一個確定區(qū)間上的最值問題的相關(guān)知識來最值為3的條件轉(zhuǎn)化為參數(shù)a的方程來求值．

解答 解：（1）∵f（x）=-asinx+b，（a，b∈R）．
∴a＞0，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]時，sinx∈[-1，$\frac{1}{2}$]，asinx∈[-a，$\frac{a}{2}$]，f（x）=-asinx+b∈[-a+b，$\frac{a}{2}$+b]，
∵函數(shù)f（x）的最大值為0，最小值為-4，
∴-a+b=-4，$\frac{a}{2}$+b=0，解得：a=-$\frac{8}{3}$，b=$\frac{4}{3}$．
（2）∵b=1，可得：f（x）=1-asinx，
∴g（x）=f（x）+cos²x
=1-asinx+cos²x
=2-asinx-sin²x
=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2-（sinx+$\frac{a}{2}$）²，
令t=sinx，
g（t）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2-（t+$\frac{a}{2}$）²，∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
分類討論：
若-$\frac{a}{2}$＜-$\frac{1}{2}$，即a＞1，
g_max=g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2-（t+$\frac{a}{2}$）²=3，故a=$\frac{5}{2}$；
若-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{a}{2}$≤1即-2≤a≤1，
g_max=g（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2=3，得a=-2，或2（舍去）；
若-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2，
g_max=g（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2-（1+$\frac{a}{2}$）²=3，得a=-2（舍去）
∴可得：a=-2，或$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，解題時注意配方法的應(yīng)用，屬于中檔題．